Cálculo de materiales

Volumen total de superadobe

Al calcular el volumen de superadobe se obtienen las longitudes necesarias de saco y alambre, y el volumen de material de drenaje.

Para el cálculo del volumen de superadobe, se calcula la longitud de cada hilada —longitud de la circunferencia que describe el tubo— en el punto medio del saco —por similitud con el cálculo del volumen de un toro— y se multiplica por la sección del saco lleno y compactado. En cada hilada, la longitud de la circunferencia es función del radio del domo a la altura del saco. Por debajo de la línea de surgencia el radio es constante.

La sección del saco debe multiplicarse por la longitud del mismo ─longitud de la circunferencia que describe el tubo en la hilada correspondiente─, que en cada caso es función del radio del domo a la altura del saco; a esta medida se suma la mitad de la anchura del saco lleno ─por similitud con el cálculo del volumen de un toro─. Por debajo de la línea de surgencia el radio es constante:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r_C = {\color{Green}{r} + {3 \over 2} \color{Green}{s_w}} \text{ — para el volumen de C} \\ r_{D,E} = {\color{Green}{r} + {1 \over 2} \color{Green}{s_w}} \text{ — para los volúmenes de D y E}

Por encima de la línea de surgencia, el radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r_n de la n-ésima hilada lo determinan la longitud del compás de altura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): l y la altura donde se encuentra el saco, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): h_n , que, considerando la altura hasta la mitad del saco, es igual a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n − {1 \over 2} veces la altura del saco lleno Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): s_h . Aplicando el teorema de Pitágoras:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \color{Green}{l}^2 = h_n^2 + l_n^2 }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \color{Green}{l}^2 = h_n^2 + l_n^2 \\ l_n = \color{Green}{l} - \color{Green}{r} + r_n \\ h_n = \left(n - {1 \over 2} \right)\color{Green}{s_h} }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \color{Green}{l}^2 = \left[\left(n - {1 \over 2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2 + \left(\color{Green}{l} -\color{Green}{r} + r_n \right)^2 \\ \color{Green}{l} -\color{Green}{r} + r_n = \sqrt{\color{Green}{l}^2 - \left[\left(n - {1 \over 2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2} \\ r_n = \color{Green}{r} - \color{Green}{l} + \sqrt{\color{Green}{l}^2 - \left[\left(n - {1 \over 2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2} }

Añadiendo la mitad de la anchura del saco lleno, el radio resultante para el cálculo de los volúmenes del muro del domo por encima de la línea de surgencia (volúmenes en A) es:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r_{n(A)} = \color{Green}{r} - \color{Green}{l} + {1 \over 2}\color{Green}{s_w} + \sqrt{\color{Green}{l}^2 - \left[\left(n - {1 \over 2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2}

Los volúmenes de B se calculan añadiendo a la fórmula anterior la anchura del saco lleno:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r_{n(B)} = \color{Green}{r} - \color{Green}{l} + {3 \over 2}\color{Green}{s_w} + \sqrt{\color{Green}{l}^2 - \left[\left(n - {1 \over 2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2}

Con las fórmulas anteriores, la suma de volúmenes queda como sigue:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V = \sum_{x=A}^{E} V_x = V_A + V_B + V_C + V_C + V_E}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_A volumen de superadobe por encima de la línea de surgencia

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): N \text{ — número de hiladas por encima de la línea de surgencia}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \color{Green}{l}^2 = h^2+(\color{Green}{l}-\color{Green}{r})^2 \\ h=\sqrt{\color{Green}{l}^2 - \left(\color{Green}{l} - \color{Green}{r} \right)^2} \\ N = \dfrac{h}{\color{Green}{s_h}} \\ N = \dfrac{ \sqrt{ \color{Green}{l}^2 - \left(\color{Green}{l} - \color{Green}{r} \right)^2 } }{\color{Green}{s_h}}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} V_A(n) & = A_{saco} \times 2 \pi r_{n(A)} \\ & = A_{saco} \times 2 \pi \left(\color{Green}{r} - \color{Green}{l} + \frac{1}{2}\color{Green}{s_w} + \sqrt{\color{Green}{l}^2-\left[\left(n - \frac{1}{2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2} \right) \end{align}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} V_A & = A_{saco} \times 2 \pi \sum_{n=1}^N \left(\color{Green}{r} - \color{Green}{l} + \frac{1}{2}\color{Green}{s_w} + \sqrt{\color{Green}{l}^2-\left[\left(n - \frac{1}{2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2} \right) \\ & = A_{saco} \times 2 \pi \left[ N \left(\color{Green}{r} - \color{Green}{l} + \frac{1}{2}\color{Green}{s_w} \right) + \sum_{n=1}^N \sqrt{\color{Green}{l}^2-\left[\left(n - \frac{1}{2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2} \right] \end{align}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_B volumen de superadobe en el contrafuerte por encima de la línea de surgencia

Error al representar (error de sintaxis): \color{Green}{h_c} \text{ — altura del contrafuerte por encima de la línea de surgencia (m)} \\ C \text{ — número de hiladas del contrafuerte por encima de la línea de surgencia} \\ C = \dfrac{\color{Green}{h_c}}{\color{Green}{s_h}}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} V_B(n) & = A_{saco} \times 2 \pi r_{n(B)} \\ & = A_{saco} \times 2 \pi \left(\color{Green}{r} - \color{Green}{l} + \frac{3}{2}\color{Green}{s_w} + \sqrt{\color{Green}{l}^2-\left[\left(n - \frac{1}{2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2} \right) \end{align}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} V_B & = A_{saco} \times 2 \pi \sum_{n=1}^C \left(\color{Green}{r} - \color{Green}{l} + \frac{3}{2}\color{Green}{s_w} + \sqrt{\color{Green}{l}^2-\left[\left(n - \frac{1}{2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2} \right) \\ & = A_{saco} \times 2 \pi \left[ C \left(\color{Green}{r} - \color{Green}{l} + \frac{3}{2}\color{Green}{s_w} \right) + \sum_{n=1}^C \sqrt{\color{Green}{l}^2-\left[\left(n - \frac{1}{2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2} \right] \end{align}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_C volumen de superadobe en el contrafuerte por debajo de la línea de surgencia

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \color{Green}{n_C} \text{ — número de hiladas hasta la línea de surgencia del contrafuerte}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} V_C & = \color{Green}{n_c} \times A_{saco} \times(2 \pi r_c) \\ & = \color{Green}{n_c} \times A_{saco} \times 2 \pi \left(\color{Green}{r} + \frac{3}{2} \color{Green}{s_w} \right) \end{align}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_D volumen de superadobe por debajo de la línea de surgencia

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \color{Green}{n_D} \text{ — número de hiladas hasta la línea de surgencia}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} V_D & = \color{Green}{n_D} \times A_{saco} \times(2 \pi r_D) \\ & = \color{Green}{n_D} \times A_{saco} \times 2 \pi \left(\color{Green}{r} + \frac{1}{2} \color{Green}{s_w} \right) \end{align}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_E volumen de superadobe en los cimientos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \color{Green}{n_E} \text{ — número de hiladas en los cimientos}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} V_E & = \color{Green}{n_E} \times A_{saco} \times(2 \pi r_E) \\ & = \color{Green}{n_E} \times A_{saco} \times 2 \pi \left(\color{Green}{r} + \frac{1}{2} \color{Green}{s_w} \right) \end{align}

Volumen total

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{align} V & = A_{saco} \times 2 \pi \left[ N \left(\color{Green}{r} - \color{Green}{l} + \frac{1}{2}\color{Green}{s_w} \right) + \sum_{n=1}^N \sqrt{\color{Green}{l}^2-\left[\left(n - \frac{1}{2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2} \right] + A_{saco} \times 2 \pi \left[ C \left(\color{Green}{r} - \color{Green}{l} + \frac{3}{2}\color{Green}{s_w} \right) + \sum_{n=1}^C \sqrt{\color{Green}{l}^2-\left[\left(n - \frac{1}{2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2} \right] + \color{Green}{n_C} \times A_{saco} \times 2 \pi \left(\color{Green}{r} + \frac{3}{2} \color{Green}{s_w} \right) + \color{Green}{n_D} \times A_{saco} \times 2 \pi \left(\color{Green}{r} + \frac{1}{2} \color{Green}{s_w} \right) + \color{Green}{n_E} \times A_{saco} \times 2 \pi \left(\color{Green}{r} + \frac{1}{2} \color{Green}{s_w} \right) \\ & = A_{saco} \times 2 \pi \left[ \left(N + C \right) \left(\color{Green}{r} -\color{Green}{l} + \frac{1}{2} \color{Green}{s_w} \right) + C \color{Green}{s_w} + \sum_{n=1}^N \sqrt{ \color{Green}{l}^2 - \left[ \left(n - \frac{1}{2} \right) \color{Green}{s_h} \right]^2 } + \sum_{n=1}^C \sqrt{ \color{Green}{l}^2 - \left[ \left(n - \frac{1}{2} \right) \color{Green}{s_h} \right]^2 } + \left(\color{Green}{n_C} + \color{Green}{n_E} + \color{Green}{n_D}\right) \left(\color{Green}{r} + \frac{1}{2} \color{Green}{s_w} \right) + \color{Green}{n_C} \color{Green}{s_w} \right] \\ & = A_{saco} \times 2 \pi \left[ \left(N + C \right) \left(\color{Green}{r} -\color{Green}{l} + \frac{1}{2} \color{Green}{s_w} \right) + \left(\color{Green}{n_C} + \color{Green}{n_E} + \color{Green}{n_D}\right) \left(\color{Green}{r} + \frac{1}{2} \color{Green}{s_w} \right) + \left(C + \color{Green}{n_C} \right) \color{Green}{s_w} + \sum_{n=1}^N \sqrt{ \color{Green}{l}^2 - \left[ \left(n - \frac{1}{2} \right) \color{Green}{s_h} \right]^2 } + \sum_{n=1}^C \sqrt{ \color{Green}{l}^2 - \left[ \left(n - \frac{1}{2} \right) \color{Green}{s_h} \right]^2 } \right] \\ & = A_{saco} \times 2 \pi \left[ \left(N + C + \color{Green}{n_C} + \color{Green}{n_D} + \color{Green}{n_E} \right) \left(\color{Green}{r} + \frac{1}{2} \color{Green}{s_w} \right) - \color{Green}{l} \left(N + C \right) + \left(C + \color{Green}{n_C} \right) \color{Green}{s_w} + \sum_{n=1}^N \sqrt{ \color{Green}{l}^2 - \left[ \left(n - \frac{1}{2} \right) \color{Green}{s_h} \right]^2 } + \sum_{n=1}^C \sqrt{ \color{Green}{l}^2 - \left[ \left(n - \frac{1}{2} \right) \color{Green}{s_h} \right]^2 } \right] \\ & = A_{saco} \times 2 \pi \left[ \left(N + C + \color{Green}{n_C} + \color{Green}{n_D} + \color{Green}{n_E} \right) \left(\color{Green}{r} + \frac{1}{2} \color{Green}{s_w} \right) - \color{Green}{l} \left(N + C \right) + \left(C + \color{Green}{n_C} \right) \color{Green}{s_w} + 2 \sum_{n=1}^C \sqrt{ \color{Green}{l}^2 - \left[ \left(n - \frac{1}{2} \right) \color{Green}{s_h} \right]^2 } + \sum_{n=C+1}^N \sqrt{ \color{Green}{l}^2 - \left[ \left(n - \frac{1}{2} \right) \color{Green}{s_h} \right]^2 } \right] \end{align} }

Área de la sección de saco

Según la forma de la sección que se considere, el área es distinta y cambia el volumen resultante:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \color{Green}{L_v} \text{— anchura del saco vacío} \\ \color{Green}{s_h} — \text{altura del saco lleno y compactado} \\ s_w — \text{anchura del saco lleno y compactado} }

Sección rectangular

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s_w = \color{Green}{L_v} - \color{Green}{s_h} \\ A_{saco} = s_w \times \color{Green}{s_h} = \left(\color{Green}{L_v} - \color{Green}{s_h} \right) \times \color{Green}{s_h}}

Sección con laterales semicurculares

Aunque en realidad los lados la sección del saco son sectores circulares, para añadir un margen de seguridad conveniente en los cálculos se considera la sección con los laterales semicurculares:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s_w = \color{Green}{L_v} - \dfrac{\pi \color{Green}{s_h}}{2} + \color{Green}{s_h} = \color{Green}{L_v} + \color{Green}{s_h}\left(1 - \dfrac{\pi}{2}\right) \\ A_{saco} = \left(\color{Green}{L_v} - \dfrac{\pi \color{Green}{s_h}}{2} \right) \times \color{Green}{s_h} + \pi \left(\dfrac{\color{Green}{s_h}}{2}\right)^2 = \color{Green}{L_v} \color{Green}{s_h} - \dfrac{\pi \color{Green}{s_h}^2}{4} }

Sección con laterales como segmentos circulares

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s_w = \color{Green}{L_v} - \dfrac{\pi \color{Green}{s_h}}{3} + 2 \left(\color{Green}{s_h} - \sqrt{\color{Green}{s_h}^2 - \left(\dfrac{\color{Green}{s_h}}{2} \right)^2} \right) = \color{Green}{L_v} - \dfrac{\pi \color{Green}{s_h}}{3} + 2 \left(\color{Green}{s_h} - \color{Green}{s_h} \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = \color{Green}{L_v} + \color{Green}{s_h} \left( 2 - \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\pi}{3} \right) = \color{Green}{L_v} + \dfrac{\color{Green}{s_h}}{3} \left( 6 - 3\sqrt{3} - {\pi} \right) \\ \sin \alpha = \dfrac{\dfrac{\color{Green}{s_h}}{2}}{\color{Green}{s_h}} = \dfrac{1}{2}; \alpha = 30^\circ \\ \begin{align} A_{saco} & = \left(\color{Green}{L_v} - \dfrac{\pi \color{Green}{s_h}}{3} \right) \times \color{Green}{s_h} + 2 \left(\pi \color{Green}{s_h}^2 \times \dfrac{2\alpha}{360} - \dfrac{1}{2} \times \color{Green}{s_h} \sqrt{\color{Green}{s_h}^2 - \left(\dfrac{\color{Green}{s_h}}{2} \right)^2} \right) \\ & = \color{Green}{L_v} \color{Green}{s_h} - \dfrac{\pi \color{Green}{s_h}^2}{3} + 2 \left(\pi \color{Green}{s_h}^2 \times \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\color{Green}{s_h}^2 \sqrt{3}}{2} \right) \\ & = \color{Green}{L_v} \color{Green}{s_h} - \dfrac{\pi \color{Green}{s_h}^2}{3} + \dfrac{\pi \color{Green}{s_h}^2}{3} - \dfrac{\color{Green}{s_h}^2 \sqrt{3}}{2} \\ & = \color{Green}{L_v} \color{Green}{s_h} - \color{Green}{s_h}^2 \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{align} }

Sección para cálculos

Usar una sección u otra conlleva variaciones en los cálculos, ya que el área de cada una es distinta:

		Altura del saco lleno y compactado
		Sección rectangular			Sección con semicírculos			Sección con segmentos circulares
	in	2,00	3,00	5,00	2,00	3,00	5,00	2,00	3,00	5,00
	cm	5,08	7,62	12,70	5,08	7,62	12,70	5,08	7,62	12,70
Anchura del saco vacío (cm)	30	126,59	170,54	219,71	132,13	183,00	254,32	130,05	178,31	241,32
	35	151,99	208,64	283,21	157,53	221,10	317,82	155,45	216,41	304,82
	40	177,39	246,74	346,71	182,93	259,20	381,32	180,85	254,51	368,32
	45	202,79	284,84	410,21	208,33	297,30	444,82	206,25	292,61	431,82
	50	228,19	322,94	473,71	233,73	335,40	508,32	231,65	330,71	495,32
	55	253,59	361,04	537,21	259,13	373,50	571,82	257,05	368,81	558,82
	60	278,99	399,14	600,71	284,53	411,60	635,32	282,45	406,91	622,32

Valores de sección

El área de la sección del saco, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_{saco}} , debe multiplicarse por la longitud del mismo —longitud de la circunferencia que describe el tubo en la hilada correspondiente—, que en cada caso es función del radio del domo a la altura del saco; a esta medida se suma la mitad de la anchura del saco lleno —por similitud con el cálculo del volumen de un toro—. Por debajo de la línea de surgencia el radio es constante:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://es.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r_C = {\color{Green}{r} + {3 \over 2} s_w} \text{ — para el volumen de C} \\ r_{D,E} = {\color{Green}{r} + {1 \over 2} s_w} \text{ — para los volúmenes de D y E} }