Cálculo de materiales

Cálculos aproximados. Se considera:

• el volumen del tubo lleno, compactado y fraguado lo ocupan la tierra y el estabilizante; el agua no se considera aditiva para el volumen porque ocupa los espacios entre las partículas de los materiales;
• el volumen del tubo se calcula con la anchura del mismo vacío para contar con margen de sobra de los materiales.

Volumen total de superadobe

Ecuaciones

Sección del saco

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \color{Green}{L_v} \text{— anchura del saco vacío} \\ \color{Green}{h} — \text{altura del saco lleno y compactado} }

${A_{saco}=L_{v}\times h}$

$A_{saco}=\left(L_{v}-{\dfrac {\pi h}{2}}\right)\times h+\pi \left({\dfrac {h}{2}}\right)^{2}=L_{v}h-{\dfrac {\pi h^{2}}{4}}$

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \sin \alpha = \dfrac{\dfrac{h}{2}}{h} = \dfrac{1}{2}; \alpha = 30^\circ \\ \begin{align} A_{saco} & = \left(L_v - \dfrac{\pi h}{3} \right) \times h + 2 \left(\pi \left(\dfrac{h}{2}\right)^2 \times \dfrac{2\alpha}{360} - \dfrac{1}{2} h \left(h^2 - \left(\dfrac{h}{2} \right)^2 \right) \right) \\ & = L_v h - \dfrac{\pi h^2}{3} + 2 \left(\dfrac{\pi h^2}{4} \times \dfrac{1}{6} - \dfrac{3}{8} h^3 \right) \\ & = L_v h - \dfrac{\pi h^2}{3} + \dfrac{\pi h^2}{12} - \dfrac{3}{4} h^3 \\ & = L_v h - \dfrac{3}{4} \pi h^2 - \dfrac{3}{4} h^3 \\ & = L_v h - \dfrac{3}{4} h^2 \left(\pi + h \right) \end{align} }

Para el cálculo de todos los volúmenes, se considera la sección del saco como el producto $\color {Green}{s_{w}}\times \color {Green}{s_{h}}$:

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \color{Green}{s_w} \text{ — anchura del saco lleno y compactado} \\ \color{Green}{s_h} \text{ — altura del saco lleno y compactado}}

La sección del saco debe multiplicarse por la longitud del mismo ─longitud de la circunferencia que describe el tubo en la hilada correspondiente─, que en cada caso es función del radio del domo a la altura del saco; a esta medida se suma la mitad de la anchura del saco lleno ─por similitud con el cálculo del volumen de un toro─. Por debajo de la línea de surgencia el radio es constante:

Error al representar (error de sintaxis): r_C = {\color{Green}{r} + {3 \over 2} \color{Green}{s_w}} \text{ — para el volumen de C} \\ r_{D,E} = {\color{Green}{r} + {1 \over 2} \color{Green}{s_w}} \text{ — para los volúmenes de D y E}

Por encima de la línea de surgencia, el radio $r_{n}$ de la n-ésima hilada lo determinan la longitud del compás de altura $l$ y la altura donde se encuentra el saco, $h_{n}$, que, considerando la altura hasta la mitad del saco, es igual a Error al representar (error de sintaxis): n − {1 \over 2} veces la altura del saco lleno $s_{h}$. Aplicando el teorema de Pitágoras:

$\color {Green}{l}^{2}=h_{n}^{2}+l_{n}^{2}$

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \color{Green}{l}^2 = h_n^2 + l_n^2 \\ l_n = \color{Green}{l} - \color{Green}{r} + r_n \\ h_n = \left(n - {1 \over 2} \right)\color{Green}{s_h} }

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \color{Green}{l}^2 = \left[\left(n - {1 \over 2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2 + \left(\color{Green}{l} -\color{Green}{r} + r_n \right)^2 \\ \color{Green}{l} -\color{Green}{r} + r_n = \sqrt{\color{Green}{l}^2 - \left[\left(n - {1 \over 2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2} \\ r_n = \color{Green}{r} - \color{Green}{l} + \sqrt{\color{Green}{l}^2 - \left[\left(n - {1 \over 2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2} }

Añadiendo la mitad de la anchura del saco lleno, el radio resultante para el cálculo de los volúmenes del muro del domo por encima de la línea de surgencia (volúmenes en A) es:

$r_{n(A)}=\color {Green}{r}-\color {Green}{l}+{1 \over 2}\color {Green}{s_{w}}+{\sqrt {\color {Green}{l}^{2}-\left[\left(n-{1 \over 2}\right)\color {Green}{s_{h}}\right]^{2}}}$

Los volúmenes de B se calculan añadiendo a la fórmula anterior la anchura del saco lleno:

$r_{n(B)}=\color {Green}{r}-\color {Green}{l}+{3 \over 2}\color {Green}{s_{w}}+{\sqrt {\color {Green}{l}^{2}-\left[\left(n-{1 \over 2}\right)\color {Green}{s_{h}}\right]^{2}}}$

Con las fórmulas anteriores, la suma de volúmenes queda como sigue:

$V=\sum _{x=A}^{E}V_{x}=V_{A}+V_{B}+V_{C}+V_{C}+V_{E}$

$V_{A}$ volumen de superadobe por encima de la línea de surgencia

$N{\text{ — número de hiladas por encima de la línea de surgencia}}$

Error al representar (error de sintaxis): \color{Green}{l}^2 = h^2+(\color{Green}{l}-\color{Green}{r})^2 \\ h=\sqrt{\color{Green}{l}^2 - \left(\color{Green}{l} - \color{Green}{r} \right)^2} \\ N = \dfrac{h}{\color{Green}{s_h}} \\ N = \dfrac{ \sqrt{ \color{Green}{l}^2 - \left(\color{Green}{l} - \color{Green}{r} \right)^2 } }{\color{Green}{s_h}}

${\begin{aligned}V_{A}(n)&=\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}}2\pi r_{n(A)}\\&=\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}}2\pi \left(\color {Green}{r}-\color {Green}{l}+{\frac {1}{2}}\color {Green}{s_{w}}+{\sqrt {\color {Green}{l}^{2}-\left[\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\color {Green}{s_{h}}\right]^{2}}}\right)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}V_{A}&=\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}}2\pi \sum _{n=1}^{N}\left(\color {Green}{r}-\color {Green}{l}+{\frac {1}{2}}\color {Green}{s_{w}}+{\sqrt {\color {Green}{l}^{2}-\left[\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\color {Green}{s_{h}}\right]^{2}}}\right)\\&=\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}}2\pi \left[N\left(\color {Green}{r}-\color {Green}{l}+{\frac {1}{2}}\color {Green}{s_{w}}\right)+\sum _{n=1}^{N}{\sqrt {\color {Green}{l}^{2}-\left[\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\color {Green}{s_{h}}\right]^{2}}}\right]\end{aligned}}$

$V_{B}$ volumen de superadobe en el contrafuerte por encima de la línea de surgencia

Error al representar (error de sintaxis): \color{Green}{h_c} \text{ — altura del contrafuerte por encima de la línea de surgencia (m)} \\ C \text{ — número de hiladas del contrafuerte por encima de la línea de surgencia} \\ C = \dfrac{\color{Green}{h_c}}{\color{Green}{s_h}}

${\begin{aligned}V_{B}(n)&=\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}}2\pi r_{n(B)}\\&=\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}}2\pi \left(\color {Green}{r}-\color {Green}{l}+{\frac {3}{2}}\color {Green}{s_{w}}+{\sqrt {\color {Green}{l}^{2}-\left[\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\color {Green}{s_{h}}\right]^{2}}}\right)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}V_{B}&=\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}}2\pi \sum _{n=1}^{C}\left(\color {Green}{r}-\color {Green}{l}+{\frac {3}{2}}\color {Green}{s_{w}}+{\sqrt {\color {Green}{l}^{2}-\left[\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\color {Green}{s_{h}}\right]^{2}}}\right)\\&=\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}}2\pi \left[C\left(\color {Green}{r}-\color {Green}{l}+{\frac {3}{2}}\color {Green}{s_{w}}\right)+\sum _{n=1}^{C}{\sqrt {\color {Green}{l}^{2}-\left[\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\color {Green}{s_{h}}\right]^{2}}}\right]\end{aligned}}$

$V_{C}$ volumen de superadobe en el contrafuerte por debajo de la línea de surgencia

$\color {Green}{n_{C}}{\text{ — número de hiladas hasta la línea de surgencia del contrafuerte}}$

${\begin{aligned}V_{C}&=\color {Green}{n_{c}}(\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}})(2\pi r_{c})\\&=\color {Green}{n_{c}}\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}}2\pi \left(\color {Green}{r}+{\frac {3}{2}}\color {Green}{s_{w}}\right)\end{aligned}}$

$V_{D}$ volumen de superadobe por debajo de la línea de surgencia

$\color {Green}{n_{D}}{\text{ — número de hiladas hasta la línea de surgencia}}$

${\begin{aligned}V_{D}&=\color {Green}{n_{D}}(\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}})(2\pi r_{D})\\&=\color {Green}{n_{D}}\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}}2\pi \left(\color {Green}{r}+{\frac {1}{2}}\color {Green}{s_{w}}\right)\end{aligned}}$

$V_{E}$ volumen de superadobe en los cimientos

$\color {Green}{n_{E}}{\text{ — número de hiladas en los cimientos}}$

${\begin{aligned}V_{E}&=\color {Green}{n_{E}}(\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}})(2\pi r_{E})\\&=\color {Green}{n_{E}}\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}}2\pi \left(\color {Green}{r}+{\frac {1}{2}}\color {Green}{s_{w}}\right)\end{aligned}}$

Volumen total de superadobe

${\begin{aligned}V&=\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}}2\pi \left[N\left(\color {Green}{r}-\color {Green}{l}+{\frac {1}{2}}\color {Green}{s_{w}}\right)+\sum _{n=1}^{N}{\sqrt {\color {Green}{l}^{2}-\left[\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\color {Green}{s_{h}}\right]^{2}}}\right]+\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}}2\pi \left[C\left(\color {Green}{r}-\color {Green}{l}+{\frac {3}{2}}\color {Green}{s_{w}}\right)+\sum _{n=1}^{C}{\sqrt {\color {Green}{l}^{2}-\left[\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\color {Green}{s_{h}}\right]^{2}}}\right]+\color {Green}{n_{C}}\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}}2\pi \left(\color {Green}{r}+{\frac {3}{2}}\color {Green}{s_{w}}\right)+\color {Green}{n_{D}}\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}}2\pi \left(\color {Green}{r}+{\frac {1}{2}}\color {Green}{s_{w}}\right)+\color {Green}{n_{E}}\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}}2\pi \left(\color {Green}{r}+{\frac {1}{2}}\color {Green}{s_{w}}\right)\\&=\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}}2\pi \left[\left(N+C\right)\left(\color {Green}{r}-\color {Green}{l}+{\frac {1}{2}}\color {Green}{s_{w}}\right)+C\color {Green}{s_{w}}+\sum _{n=1}^{N}{\sqrt {\color {Green}{l}^{2}-\left[\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\color {Green}{s_{h}}\right]^{2}}}+\sum _{n=1}^{C}{\sqrt {\color {Green}{l}^{2}-\left[\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\color {Green}{s_{h}}\right]^{2}}}+\left(\color {Green}{n_{C}}+\color {Green}{n_{E}}+\color {Green}{n_{D}}\right)\left(\color {Green}{r}+{\frac {1}{2}}\color {Green}{s_{w}}\right)+\color {Green}{n_{C}}\color {Green}{s_{w}}\right]\\&=\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}}2\pi \left[\left(N+C\right)\left(\color {Green}{r}-\color {Green}{l}+{\frac {1}{2}}\color {Green}{s_{w}}\right)+\left(\color {Green}{n_{C}}+\color {Green}{n_{E}}+\color {Green}{n_{D}}\right)\left(\color {Green}{r}+{\frac {1}{2}}\color {Green}{s_{w}}\right)+\left(C+\color {Green}{n_{C}}\right)\color {Green}{s_{w}}+\sum _{n=1}^{N}{\sqrt {\color {Green}{l}^{2}-\left[\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\color {Green}{s_{h}}\right]^{2}}}+\sum _{n=1}^{C}{\sqrt {\color {Green}{l}^{2}-\left[\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\color {Green}{s_{h}}\right]^{2}}}\right]\\&=\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}}2\pi \left[\left(N+C+\color {Green}{n_{C}}+\color {Green}{n_{D}}+\color {Green}{n_{E}}\right)\left(\color {Green}{r}+{\frac {1}{2}}\color {Green}{s_{w}}\right)-\color {Green}{l}\left(N+C\right)+\left(C+\color {Green}{n_{C}}\right)\color {Green}{s_{w}}+\sum _{n=1}^{N}{\sqrt {\color {Green}{l}^{2}-\left[\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\color {Green}{s_{h}}\right]^{2}}}+\sum _{n=1}^{C}{\sqrt {\color {Green}{l}^{2}-\left[\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\color {Green}{s_{h}}\right]^{2}}}\right]\\&=\color {Green}{s_{w}}\color {Green}{s_{h}}2\pi \left[\left(N+C+\color {Green}{n_{C}}+\color {Green}{n_{D}}+\color {Green}{n_{E}}\right)\left(\color {Green}{r}+{\frac {1}{2}}\color {Green}{s_{w}}\right)-\color {Green}{l}\left(N+C\right)+\left(C+\color {Green}{n_{C}}\right)\color {Green}{s_{w}}+2\sum _{n=1}^{C}{\sqrt {\color {Green}{l}^{2}-\left[\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\color {Green}{s_{h}}\right]^{2}}}+\sum _{n=C+1}^{N}{\sqrt {\color {Green}{l}^{2}-\left[\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\color {Green}{s_{h}}\right]^{2}}}\right]\end{aligned}}$

Mortero —tierra (arcilla más arenas y gravas) más estabilizante—

$V_{mortero}=V_{tubo}=V_{tierra}+V_{estabilizante}=V_{tierra}+p_{estabilizante}\times V_{tierra}=(1+p_{estabilizante})\times V_{tierra}$ $V_{tierra}={\dfrac {V_{tubo}}{1+p_{estabilizante}}}$

Tierra: arcilla más arenas y gravas

$p_{arcilla}$ – proporción de arcilla de la tierra

$p_{arenas+gravas}$ – proporción de arenas y gravas de la tierra

$V_{tierra}=V_{arcilla}+V_{arenas+gravas}=p_{arcilla}\times V_{tierra}+p_{arenas+gravas}\times V_{tierra}$ $V_{tierra}=(p_{arcilla}+p_{arenas+gravas})\times V_{tierra}$ $p_{arcilla}=1-p_{arenas+gravas}$

Estabilizante

$p_{estabilizante}$ – proporción de estabilizante con respecto al volumen de tierra

$V_{estabilizante}=p_{estabilizante}\times V_{tierra}$

Agua

El volumen de agua necesario se calcula en función del volumen de mortero, pero no se tiene en cuenta en la suma de volúmenes que intervienen en el resultado final:

$p_{agua}$ – proporción de agua para amasar el mortero

$V_{agua}=p_{agua}\times V_{mortero}=p_{agua}\times V_{tubo}$