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Cálculo de materiales (ver código)

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m
→‎Volumen total de superadobe
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Línea 1: Línea 1:
== Superadobe: ecuaciones para el cálculo de volúmenes y proporciones ==
== Volumen total de superadobe ==


=== Cálculo del volumen total de materiales ===
Al calcular el volumen de superadobe se obtienen las longitudes necesarias de saco y alambre, y el volumen de material de drenaje.
==== Volumen total de relleno ====
a<sub>tubo</sub> – anchura del tubo vacío


h<sub>tubo</sub> – altura del tubo lleno y compactado
Para el cálculo del volumen de superadobe, se calcula la longitud de cada hilada —longitud de la circunferencia que describe el tubo— en el punto medio del saco —por similitud con el cálculo del volumen de un toro— y se multiplica por el [[#Área de la sección del_saco|área de la sección del saco lleno y compactado]]. En cada hilada, la longitud de la circunferencia es función del radio del domo a la altura del saco.


L<sub>tubo</sub> – longitud total de tubo
[[Archivo:esquema cálculos volúmenes.png|center|1280px]]


<math>V_{tubo} = a_{tubo} \times h_{tubo} \times L_{tubo}</math>
Por debajo de la línea de surgencia el radio es constante:


Cálculos aproximados. Se considera:
<math>
* el volumen del tubo lleno, compactado y fraguado lo ocupan la tierra y el estabilizante; el agua no se considera aditiva para el volumen porque ocupa los espacios entre las partículas de los materiales;
* el volumen del tubo se calcula con la anchura del mismo vacío para contar con margen de sobra de los materiales.


r_C = {\color{Green}{r} + {3 \over 2} \color{Green}{s_w}} \text{ — para el volumen de C}


==== Mortero ====
</math>
{{ecuación|<math>V_{mortero} = V_{tierra} + V_{estabilizante} = V_{tierra} + p_{estabilizante} \times V_{tierra} = (1 + p_{estabilizante}) \times V_{tierra}</math>}}


==== Tierra: arcilla y arenas y gravas ====
<math>
p<sub>arcilla</sub>


p<sub>arenas y gravas</sub>
r_{D,E} = {\color{Green}{r} + {1 \over 2} \color{Green}{s_w}} \text{ — para los volúmenes de D y E}


{{ecuación|<math>V_{tierra} = V_{arcilla} + V_{arenas+gravas} = p_{arcilla} \times V_{tierra} + p_{arenas+gravas} \times V_{tierra}</math>}}
</math>
{{ecuación|<math>V_{tierra} = (p_{arcilla} + p_{arenas+gravas}) \times V_{tierra}</math>}}
{{ecuación|<math>p_{arcilla} = 1 - p_{arenas+gravas}</math>}}


==== Estabilizante ====
Por encima de la línea de surgencia, el radio <math>r_n</math> de la n-ésima hilada lo determinan la longitud del compás de altura <math>l</math> y la altura donde se encuentra el saco, <math>h_n</math>, que, considerando la altura hasta la mitad del saco, es igual a <math>n - {1 \over 2}</math> veces la altura del saco lleno <math>s_h</math>. Aplicando el teorema de Pitágoras:
Proporción de estabilizante con respecto al volumen de tierra:
{{ecuación|<math>V_{estabilizante} = p_{estabilizante} \times V_{tierra}</math>}}


== Cálculos ==
<math>
<spreadsheet sheet="0" file="Cálculos superadobe.ods">
 
\color{Green}{l}^2 = h_n^2 + l_n^2
 
</math>
 
<math>
 
l_n = \color{Green}{l} - \color{Green}{r} + r_n
 
</math>
 
<math>
 
h_n = \left(n - {1 \over 2} \right)\color{Green}{s_h}
 
</math>
 
<math>
 
\color{Green}{l}^2 = \left[\left(n - {1 \over 2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2 + \left(\color{Green}{l} -\color{Green}{r} + r_n \right)^2
 
</math>
 
<math>
 
\color{Green}{l} -\color{Green}{r} + r_n = \sqrt{\color{Green}{l}^2 - \left[\left(n - {1 \over 2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2}
 
</math>
 
<math>
 
r_n = \color{Green}{r} - \color{Green}{l} + \sqrt{\color{Green}{l}^2 - \left[\left(n - {1 \over 2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2}
 
</math>
 
Añadiendo la mitad de la anchura del saco lleno, el radio resultante para el cálculo de los volúmenes del muro del domo por encima de la línea de surgencia (volúmenes en A) es:
 
<math>
 
r_{n(A)} = \color{Green}{r} - \color{Green}{l} + {1 \over 2}\color{Green}{s_w} + \sqrt{\color{Green}{l}^2 - \left[\left(n - {1 \over 2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2}
 
</math>
 
Los volúmenes de B se calculan añadiendo a la fórmula anterior la anchura del saco lleno:
 
<math>
 
r_{n(B)} = \color{Green}{r} - \color{Green}{l} + {3 \over 2}\color{Green}{s_w} + \sqrt{\color{Green}{l}^2 - \left[\left(n - {1 \over 2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2}
 
</math>
 
=== Área de la sección del saco ===
[[Reglas_de_diseño#Anchura de los sacos|Literatura y datos empíricos]] proporcionan información sobre la anchura y altura final del saco una vez lleno y compactado, pero no del área de la sección del saco: la forma de la sección condiciona el área, y esta el volumen resultante.
 
La forma real del saco lleno y compactado tiene los laterales aproximadamente en forma de segmento circular. Por facilidad de cálculo se puede considerar que los laterales son semicírculos, aunque el área de la sección es menor y por lo tanto también el volumen calculado, lo cual puede suponer un defecto de material. Considerando la sección del saco como un rectángulo en el que quedarían inscritas las dos secciones anteriores, se facilitan los cálculos y se añade a los mismos un exceso de material que conviene tener en cuenta como parte de la merma de material. Además, de acuerdo con los [[Reglas_de_diseño#Anchura de los sacos|datos anteriores]], se puede considerar que la altura final del saco es aproximadamente el 27,50 % de la anchura del saco vacío:
 
[[Archivo: secciones saco.png|center]]
 
<math>
\color{Green}{L_v} \text{— anchura del saco vacío}
</math>
 
<math>
s_h \approx 0,275 \times \color{Green}{L_v} \text{— altura del saco lleno y compactado}
</math>
<math>
s_w \approx 0,725 \times \color{Green}{L_v} \text{— anchura del saco lleno y compactado}
</math>
 
<math>
A_{saco} = s_h \times s_w = 0,275 \times \color{Green}{L_v} \times 0,725 \times \color{Green}{L_v} \approx 0,2 \times \color{Green}{L_v}^2
</math>
=== <math>V_A</math> volumen de superadobe por encima de la línea de surgencia ===
 
<math>N \text{ — número de hiladas por encima de la línea de surgencia}</math>
 
<math>
 
\color{Green}{l}^2 = h^2+(\color{Green}{l}-\color{Green}{r})^2
</math>
 
<math>
 
h=\sqrt{\color{Green}{l}^2 - \left(\color{Green}{l} - \color{Green}{r} \right)^2}
</math>
 
<math>
 
N = \dfrac{h}{\color{Green}{s_h}}
</math>
 
<math>
 
N = \dfrac{
 
  \sqrt{
 
    \color{Green}{l}^2 - \left(\color{Green}{l} - \color{Green}{r} \right)^2
 
  }
 
}{\color{Green}{s_h}}
</math>
 
<math>
\begin{align}
V_A(n) & = A_{saco} \times 2 \pi r_{n(A)} \\
& = A_{saco} \times 2 \pi \left(\color{Green}{r} - \color{Green}{l} + \frac{1}{2}\color{Green}{s_w} + \sqrt{\color{Green}{l}^2-\left[\left(n - \frac{1}{2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2} \right)
\end{align}
</math>
 
<math>
\begin{align}
V_A & = A_{saco} \times 2 \pi \sum_{n=1}^N \left(\color{Green}{r} - \color{Green}{l} + \frac{1}{2}\color{Green}{s_w} + \sqrt{\color{Green}{l}^2-\left[\left(n - \frac{1}{2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2} \right) \\
& = A_{saco} \times 2 \pi \left[ N \left(\color{Green}{r} - \color{Green}{l} + \frac{1}{2}\color{Green}{s_w} \right) + \sum_{n=1}^N \sqrt{\color{Green}{l}^2-\left[\left(n - \frac{1}{2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2} \right]
\end{align}
</math>
 
=== <math>V_B</math> volumen de superadobe en el contrafuerte por encima de la línea de surgencia ===
<math>
\color{Green}{h_c} \text{ — altura del contrafuerte por encima de la línea de surgencia (m)}
</math>
 
<math>
C \text{ — número de hiladas del contrafuerte por encima de la línea de surgencia}
</math>
 
<math>
C = \dfrac{\color{Green}{h_c}}{\color{Green}{s_h}}
</math>
 
<math>
\begin{align}
V_B(n) & = A_{saco} \times 2 \pi r_{n(B)} \\
& = A_{saco} \times 2 \pi \left(\color{Green}{r} - \color{Green}{l} + \frac{3}{2}\color{Green}{s_w} + \sqrt{\color{Green}{l}^2-\left[\left(n - \frac{1}{2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2} \right)
\end{align}
</math>
 
<math>
\begin{align}
V_B & = A_{saco} \times 2 \pi \sum_{n=1}^C \left(\color{Green}{r} - \color{Green}{l} + \frac{3}{2}\color{Green}{s_w} + \sqrt{\color{Green}{l}^2-\left[\left(n - \frac{1}{2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2} \right) \\
& = A_{saco} \times 2 \pi \left[ C \left(\color{Green}{r} - \color{Green}{l} + \frac{3}{2}\color{Green}{s_w} \right) + \sum_{n=1}^C \sqrt{\color{Green}{l}^2-\left[\left(n - \frac{1}{2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2} \right]
\end{align}
</math>
 
=== <math>V_C</math> volumen de superadobe en el contrafuerte por debajo de la línea de surgencia ===
<math>\color{Green}{n_C} \text{ — número de hiladas hasta la línea de surgencia del contrafuerte}</math>
 
<math>
\begin{align}
V_C & = \color{Green}{n_c} \times A_{saco} \times(2 \pi r_c) \\
& = \color{Green}{n_c} \times A_{saco} \times 2 \pi \left(\color{Green}{r} + \frac{3}{2} \color{Green}{s_w} \right)
\end{align}
</math>
 
=== <math>V_D</math> volumen de superadobe por debajo de la línea de surgencia ===
<math>\color{Green}{n_D} \text{ — número de hiladas hasta la línea de surgencia}</math>
 
<math>
\begin{align}
V_D & = \color{Green}{n_D} \times A_{saco} \times(2 \pi r_D) \\
& = \color{Green}{n_D} \times A_{saco} \times 2 \pi \left(\color{Green}{r} + \frac{1}{2} \color{Green}{s_w} \right)
\end{align}
</math>
 
=== <math>V_E</math> volumen de superadobe en los cimientos ===
<math>\color{Green}{n_E} \text{ — número de hiladas en los cimientos}</math>
 
<math>
\begin{align}
V_E & = \color{Green}{n_E} \times A_{saco} \times(2 \pi r_E) \\
& = \color{Green}{n_E} \times A_{saco} \times 2 \pi \left(\color{Green}{r} + \frac{1}{2} \color{Green}{s_w} \right)
\end{align}
</math>
 
=== Volumen total ===
 
<math>
 
\begin{align}
 
V & = \sum_{x=A}^{E} V_x = V_A + V_B + V_C + V_C + V_E
\\
& = A_{saco} \times 2 \pi \left[ N \left(\color{Green}{r} - \color{Green}{l} + \frac{1}{2}\color{Green}{s_w} \right) + \sum_{n=1}^N \sqrt{\color{Green}{l}^2-\left[\left(n - \frac{1}{2} \right) \color{Green}{s_h} \right]^2} \right]
\\
& + A_{saco} \times 2 \pi \left[ C \left(\color{Green}{r} - \color{Green}{l} \frac{3}{2}\color{Green}{s_w} \right) + \sum_{n=1}^C \sqrt{\color{Green}{l}^2-\left[\left(n - \frac{1}{2} \right)\color{Green}{s_h} \right]^2} \right]
\\
& + A_{saco} \times 2 \pi \times \color{Green}{n_C} \left(\color{Green}{r} + \frac{3}{2} \color{Green}{s_w} \right)
\\
& + A_{saco} \times 2 \pi \times \color{Green}{n_D} \left(\color{Green}{r} + \frac{1}{2} \color{Green}{s_w} \right)
\\
& + A_{saco} \times 2 \pi \times \color{Green}{n_E} \left(\color{Green}{r} + \frac{1}{2} \color{Green}{s_w} \right) \\
& = A_{saco} \times 2 \pi
 
\left[
 
  \left(N + C \right)
 
  \left(\color{Green}{r} -\color{Green}{l} + \frac{1}{2} \color{Green}{s_w} \right)
 
  + C \color{Green}{s_w}
 
  + \sum_{n=1}^N \sqrt{
 
    \color{Green}{l}^2 -
 
    \left[
 
      \left(n - \frac{1}{2} \right) \color{Green}{s_h}
 
    \right]^2
 
    }
 
  + \sum_{n=1}^C \sqrt{
 
    \color{Green}{l}^2 -
 
    \left[
 
      \left(n - \frac{1}{2} \right) \color{Green}{s_h}
 
    \right]^2
 
    }
 
  + \left(\color{Green}{n_C} + \color{Green}{n_E} + \color{Green}{n_D}\right) \left(\color{Green}{r} + \frac{1}{2} \color{Green}{s_w} \right)
 
  + \color{Green}{n_C} \color{Green}{s_w}
 
\right] \\
 
& = A_{saco} \times 2 \pi
 
\left[
 
  \left(N + C \right)
 
  \left(\color{Green}{r} -\color{Green}{l} + \frac{1}{2} \color{Green}{s_w} \right)
 
  + \left(\color{Green}{n_C} + \color{Green}{n_E} + \color{Green}{n_D}\right) \left(\color{Green}{r} + \frac{1}{2} \color{Green}{s_w} \right)
 
  + \left(C + \color{Green}{n_C} \right) \color{Green}{s_w}
 
  + \sum_{n=1}^N \sqrt{
 
    \color{Green}{l}^2 -
 
    \left[
 
      \left(n - \frac{1}{2} \right) \color{Green}{s_h}
 
    \right]^2
 
    }
 
  + \sum_{n=1}^C \sqrt{
 
    \color{Green}{l}^2 -
 
    \left[
 
      \left(n - \frac{1}{2} \right) \color{Green}{s_h}
 
    \right]^2
 
    }
 
\right] \\
 
& = A_{saco} \times 2 \pi
 
\left[
 
  \left(N + C + \color{Green}{n_C} + \color{Green}{n_D} + \color{Green}{n_E} \right)
 
  \left(\color{Green}{r} + \frac{1}{2} \color{Green}{s_w} \right)
 
  - \color{Green}{l} \left(N + C \right)
 
  + \left(C + \color{Green}{n_C} \right) \color{Green}{s_w}
 
  + \sum_{n=1}^N \sqrt{
 
    \color{Green}{l}^2 -
 
    \left[
 
      \left(n - \frac{1}{2} \right) \color{Green}{s_h}
 
    \right]^2
 
    }
 
  + \sum_{n=1}^C \sqrt{
 
    \color{Green}{l}^2 -
 
    \left[
 
      \left(n - \frac{1}{2} \right) \color{Green}{s_h}
 
    \right]^2
 
    }
 
\right] \\
 
& = A_{saco} \times 2 \pi
 
\left[
 
  \left(N + C + \color{Green}{n_C} + \color{Green}{n_D} + \color{Green}{n_E} \right)
 
  \left(\color{Green}{r} + \frac{1}{2} \color{Green}{s_w} \right)
 
  - \color{Green}{l} \left(N + C \right)
 
  + \left(C + \color{Green}{n_C} \right) \color{Green}{s_w}
 
  + 2 \sum_{n=1}^C \sqrt{
 
    \color{Green}{l}^2 -
 
    \left[
 
      \left(n - \frac{1}{2} \right) \color{Green}{s_h}
 
    \right]^2
 
    }
 
  + \sum_{n=C+1}^N \sqrt{
 
    \color{Green}{l}^2 -
 
    \left[
 
      \left(n - \frac{1}{2} \right) \color{Green}{s_h}
 
    \right]^2
 
    }
 
\right] \\
& = 0,2 \times \color{Green}{L_v}^2 \times 2 \pi
 
\left[
 
  \left(N + C + \color{Green}{n_C} + \color{Green}{n_D} + \color{Green}{n_E} \right)
 
  \left(\color{Green}{r} + \frac{1}{2} \times 0,725 \color{Green}{L_v} \right)
 
  - \color{Green}{l} \left(N + C \right)
 
  + \left(C + \color{Green}{n_C} \right) \times 0,725 \color{Green}{L_v}
 
  + 2 \sum_{n=1}^C \sqrt{
 
    \color{Green}{l}^2 -
 
    \left[
 
      \left(n - \frac{1}{2} \right) \times 0,275 \color{Green}{L_v}
 
    \right]^2
 
    }
 
  + \sum_{n=C+1}^N \sqrt{
 
    \color{Green}{l}^2 -
 
    \left[
 
      \left(n - \frac{1}{2} \right) \times 0,275 \color{Green}{L_v}
 
    \right]^2
 
    }
 
\right]
 
 
\end{align}
 
</math>
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